Hypergeometrinen jakauma (määritelmä, kaava) - Kuinka laskea?

Hypergeometrisen jakauman määritelmä

Tilastoissa ja todennäköisyysteoriassa hypergeometrinen jakauma on pohjimmiltaan erillinen todennäköisyysjakauma, joka määrittelee k onnistumisen todennäköisyyden (eli satunnaiset arvonnat piirretylle objektille, jolla on jokin määritelty piirre) n: ssä piirtämistä ilman korvausta tietystä annoksesta. populaation koko N, joka sisältää tarkalleen K objektin, jolla on kyseinen piirre, jossa piirtäminen voi onnistua tai epäonnistua.

Hypergeometrisen jakauman todennäköisyyden kaava johdetaan käyttämällä joukkoa populaatiota, kohteiden määrää otoksessa, onnistumisten määrää populaatiossa, onnistumisten määrää otoksessa ja muutamia yhdistelmiä. Matemaattisesti todennäköisyys esitetään seuraavasti:

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

missä,

  • N = populaation kohteiden lukumäärä
  • n = otoksen kohteiden määrä
  • K = väestön onnistumisten määrä
  • k = otoksen onnistumisten määrä

Hypergeometrisen jakauman keskiarvo ja keskihajonta ilmaistaan ​​seuraavasti:

Keskiarvo = n * K / N keskihajonta = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2

Selitys

Vaihe 1: Määritä ensin populaation kohteiden kokonaismäärä, jota merkitään N. Esimerkiksi pelikorttien määrä kannessa on 52.

Vaihe 2: Määritä seuraavaksi näytteessä olevien esineiden määrä, merkitty n: llä, esimerkiksi kannelta vedettyjen korttien lukumäärä.

Vaihe 3: Määritä seuraavaksi tapaukset, joiden katsotaan menestyvän populaatiossa, ja sitä merkitään K. Esimerkiksi sydämen määrä kokonaiskannella, joka on 13.

Vaihe 4: Määritä seuraavaksi tapaukset, joiden katsotaan onnistuneen vedetyssä näytteessä, ja sitä merkitään k: llä. Esimerkiksi pakasta vedettyjen korttien sydämien lukumäärä.

Vaihe 5: Lopuksi lasketaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyden kaava käyttämällä joukkoa populaation kohteita (vaihe 1), otoksen kohteiden lukumäärä (vaihe 2), populaation onnistumisten lukumäärä (vaihe 3) ja onnistumisten määrä näytteessä (vaihe 4) alla esitetyllä tavalla.

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

Esimerkkejä hypergeometrisestä jakaumasta (Excel-mallin kanssa)

Esimerkki 1

Otetaan esimerkki tavallisesta pelikorttipakasta, jossa 6 korttia vedetään satunnaisesti korvaamatta. Määritä todennäköisyys piirtää täsmälleen 4 punaista pakettikorttia, eli timantteja tai sydämiä.

  • Annettu, N = 52 (koska tavallisessa pelipakassa on 52 korttia)
  • n = 6 (kannelta satunnaisesti vedettyjen korttien määrä)
  • K = 26 (koska timantti- ja sydänsarjassa on kukin 13 punaista korttia)
  • k = 4 (punaisten korttien lukumäärä, joiden katsotaan onnistuneen vedetyssä näytteessä)

Ratkaisu:

Siksi todennäköisyys piirtää tarkalleen 4 punaista pakettikorttia piirrettyihin 6 korttiin voidaan laskea käyttämällä yllä olevaa kaavaa,

Todennäköisyys = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 26 C 4 * (52-26) C (6-4) / 52 C 6

= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6

= 14950 * 325/20358520

Todennäköisyys on -

Todennäköisyys = 0,2387 ~ 23,87%

Siksi on 23,87% todennäköisyys piirtää tarkalleen 4 punaista korttia samalla kun vedät 6 satunnaista korttia tavallisesta kannesta.

Esimerkki 2

Otetaan toinen esimerkki lompakosta, joka sisältää 5 dollaria 100 dollaria ja 7 dollaria 1 dollaria seteleitä. Jos 4 laskua valitaan satunnaisesti, määritä todennäköisyys valita täsmälleen 3 100 dollarin seteliä.

  • Annettu, N = 12 (100 dollarin laskujen määrä + 1 dollarin laskujen määrä)
  • n = 4 (satunnaisesti valittujen laskujen määrä)
  • K = 5 (koska 100 dollarin seteleitä on 5)
  • k = 3 (100 dollarin setelien lukumäärä, jota pidetään valitun otoksen onnistumisena)

Ratkaisu:

Siksi todennäköisyys valita tarkalleen 3 100 dollarin seteliä satunnaisesti valituista 4 setelistä voidaan laskea käyttämällä yllä olevaa kaavaa,

Todennäköisyys = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 5 C 3 * (12-5) C (4-3) / 12 C 4

= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4

= 10 * 7/495

Todennäköisyys on -

Todennäköisyys = 0,1414 ~ 14,14%

Siksi on 14,14% todennäköisyys valita täsmälleen 3 100 dollarin seteliä samalla kun piirrät 4 satunnaislaskua.

Osuvuus ja käyttötarkoitukset

Hypergeometrisen jakauman käsite on tärkeä, koska se tarjoaa tarkan tavan määrittää todennäköisyydet, kun kokeiden määrä ei ole kovin suuri ja että näytteet otetaan rajallisesta populaatiosta korvaamatta. Hypergeometrinen jakauma on itse asiassa analoginen binomijakauman kanssa, jota käytetään, kun kokeiden määrä on oleellisesti suuri. Hypergeometristä jakaumaa käytetään kuitenkin pääasiassa näytteenottoon ilman korvaamista.

Mielenkiintoisia artikkeleita...