Normaali jakautumiskaava
Normaalijakauma on symmetrinen jakauma eli positiiviset arvot ja negatiiviset jakauman arvot voidaan jakaa yhtä suuriin puolikkaisiin, joten keskiarvo, mediaani ja tila ovat samat. Siinä on kaksi häntää, toinen tunnetaan oikealla hännällä ja toinen vasemmalla hännällä.
Laskelman kaava voidaan esittää muodossa
X ~ N (µ, α)
Missä
- N = ei havaintoja
- µ = havaintojen keskiarvo
- α = keskihajonta
Useimmissa tapauksissa havainnot eivät paljasta paljoa raakana. Joten on välttämätöntä standardoida havainnot, jotta sitä voidaan verrata. Se tehdään z-pisteiden kaavan avulla. Z-pisteet on laskettava havainnolle.
Z-pistelaskennan yhtälö normaalijakaumalle esitetään seuraavasti:
Z = (X-u) / a
Missä
- Z = havaintojen Z-pisteet
- µ = havaintojen keskiarvo
- α = keskihajonta
Selitys
Jakelu on normaalia, kun se seuraa kellokäyrää. Se tunnetaan kellokäyränä, koska se ottaa kellon muodon. Yksi normaalikäyrän tärkeimmistä ominaisuuksista on, että se on symmetrinen, mikä tarkoittaa, että jakauman positiiviset ja negatiiviset arvot voidaan jakaa yhtä suuriin puolikkaisiin. Toinen olennaisen ominaisuus muuttujalle on, että havainnot ovat yhden keskihajonnan sisällä keskiarvosta 90% ajasta. Havainnot ovat kaksi keskihajontaa keskimääräisestä 95 prosentista ajasta, ja ne ovat kolmen keskihajonnan sisällä keskimääräisestä 99 prosentista ajasta.
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Opiskelijaluokan painojen keskiarvo on 65 kg ja painon keskiarvo on 5 kg. Jos oletamme, että tuoton jakautuminen on normaalia, tulkitskaamme sitten luokan oppilaiden painoa .
Kun jakauma on normaali, 68% siitä on yhden standardipoikkeaman sisällä, 95% on 2 standardipoikkeaman sisällä ja 99% on 3 standardipoikkeaman sisällä.
Koska
- Painon keskimääräinen tuotto on 65 kg
- Keskihajonta on 3,5 kg
Joten 68% ajasta jakauman arvo on alla olevalla alueella,
- Yläalue = 65 + 3,5 = 68,5
- Alempi alue = 65-3,5 = 61,5
- Kukin häntä (68% / 2) = 34%
Esimerkki 2
Jatketaan samalla esimerkillä. Opiskelijaluokan painojen keskiarvo on 65 kg ja painon vakio on 3,5 kg. Jos oletamme, että tuoton jakautuminen on normaalia, tulkitskaamme sitä luokan oppilaiden painon mukaan.
Koska
- Painon keskimääräinen tuotto on 65 kg
- Keskihajonta on 3,5 kg
Joten 95% ajasta jakauman arvo on alla olevalla alueella,
- Yläalue = 65 + (3,5 * 2) = 72
- Alempi alue = 65- (3,5 * 2) = 58
- Kukin häntä (95% / 2) = 47,5%
Esimerkki 3
Jatketaan samalla esimerkillä. Opiskelijaluokan painojen keskiarvo on 65 kg ja painon vakio on 3,5 kg. Jos oletamme, että tuoton jakautuminen on normaalia, tulkitskaamme sitä luokan oppilaiden painon mukaan.
Koska
- Painon keskimääräinen tuotto on 65 kg
- Keskihajonta on 3,5 kg
Joten 99% ajasta jakauman arvo on alla olevalla alueella,
- Yläalue = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
- Alempi alue = 65- (3,5 * 3) = 54,5
- Kukin häntä (99% / 2) = 49,5%
Osuvuus ja käyttö
Normaalijakauma on olennainen tilastollinen käsite, koska suurin osa rahoituksen satunnaismuuttujista seuraa tällaista käyrää. Sillä on tärkeä osa salkkujen rakentamisessa. Rahoituksen lisäksi tällaisen jakauman havaitaan seuraavan paljon tosielämän parametreja. Kuten esimerkiksi, jos yritämme löytää oppilaiden korkeuden luokassa tai oppilaiden painon luokassa, havainnot jakautuvat normaalisti. Samoin kokeen arvosanat seuraavat samaa jakaumaa. Se auttaa normalisoimaan pisteitä tentissä, jos useimmat opiskelijat tulivat alle läpäisevien pisteiden asettamalla rajan sanoen, että vain ne, jotka epäonnistuivat, jotka saivat alle kahden keskihajonnan.
