Riippumattomien tapahtumien määritelmä
Itsenäinen tapahtuma on tilastoissa laajalti käytetty termi, joka viittaa kahden tapahtuman sarjaan, joissa yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta ryhmän toisen tapahtuman esiintymiseen. Toisin sanoen nämä ovat tapahtumia, jotka eivät tarjoa tietoja muiden tapahtumien esiintymisestä tai puuttumisesta.
Selitys
Tavallisessa tilanteessa tietyn tapahtuman esiintyminen tai puuttuminen voi tarjota käsityksen muista tapahtumista. Sama ei kuitenkaan päde itsenäisiin tapahtumiin, koska yhden tapahtuman esiintyminen tai puuttuminen ei anna mitään käsitystä tai tietoa toisen tapahtuman olemassaolosta. Siten yhden tapahtuman tulos ei ole riippuvainen toisen saman tapahtuman tuloksesta.
Esimerkkejä itsenäisistä tapahtumista
Käsite voidaan ymmärtää hyvin muutaman esimerkin avulla -
- Otamme kaksi kolikkoa ja heitämme ne sitten. Tapahtuma, jossa hännän tai pään ulkonäkö yhdellä kolikolla ei ole ratkaiseva pyrstön tai pään ulkonäön suhteen toisessa kolikossa. Näin ollen kahden kolikon heittäminen samanaikaisesti tai saman kolikon heittäminen kahdesti voidaan sanoa itsenäisiksi tapahtumiksi. Syynä on se, että kunkin lopputuloksen (eli pään tai hännän) todennäköisyys on 50% joka kerta eikä ole riippuvainen viimeisestä heitosta.
- Vastaavasti, kun otamme kaksi noppaa ja heitämme ne, yhden noppan tuloksena oleva luku ei ratkaise toisen noppan tulosta. Seurauksena kahden noppan vierittäminen on toinen esimerkki.
Säännöt
Todennäköisyydessä on kertolasku, jota voidaan testata sen tunnistamiseksi, ovatko nämä kaksi tapahtumaa riippumattomia vai eivät.
Kertolaskujen mukaan, jos kaksi tapahtumaa ovat toisistaan riippumattomia,
P (A | B) = P (A)
Tämä matemaattinen merkitys tarkoittaa, että kahden tapahtuman, nimeltään A ja B, sanotaan olevan itsenäisiä, kun tapahtuman A todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että tapahtuma B tapahtuu, on yhtä suuri kuin tapahtuman A todennäköisyys. Sen vuoksi, että itsenäisten tapahtumien tapauksessa tapahtuman esiintyminen tai poissaolo ei ratkaise toisen tapahtuman esiintymistä tai poissaoloa.
Vastaavasti myös seuraava merkitys pätee.
P (B | A) = P (B)
Se tarkoittaa, että jos A ja B ovat kaksi toisistaan riippumatonta tapahtumaa, tapahtuman B todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että tapahtuma A tapahtuu, on yhtä suuri kuin tapahtuman B todennäköisyys.
Lisäksi on vielä yksi havainto, joka pätee tällaisiin tapahtumiin.
P (A ja B) = P (A) * P (B)
Yllä oleva yhtälö viittaa siihen, että jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, molempien tapahtumien todennäköisyys vastaa niiden yksittäisten todennäköisyyksien tuloa.
Itsenäiset tapahtumat todennäköisyydessä
Todennäköisyysterminologiassa kahden tapahtuman voidaan sanoa olevan riippumattomia, jos yhden tapahtuman tulos ei ole ratkaiseva toisen tapahtuman esiintymisen tai ei tapahtuvan todennäköisyyden suhteen.
Seuraavassa lasketaan minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys -
Lasketaan esimerkiksi todennäköisyys saada 6 noppaa, kun heitämme sitä. Tällöin lopputuloksia on kuusi (numerot 1,2,3,4,5 ja 6), ja joukko suotuisia tuloksia on yksi (numero 6). Todennäköisyys tulee siis olemaan 0,16.
Riippumattomat ja riippuvaiset tapahtumat
- Kahden tapahtuman sanotaan olevan itsenäisiä, kun yhden tapahtuman todennäköisyys ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen. Esimerkiksi kahden kolikon heittäminen samanaikaisesti ovat itsenäisiä tapahtumia, koska pään tai hännän todennäköisyys ensimmäisessä kolikossa ei ole riippuvainen tai ratkaiseva pään tai hännän todennäköisyydestä toisessa kolikossa.
- Toisaalta kahta tapahtumaa kutsutaan riippuvaiseksi, jos yhden tapahtuman tulos voi muuttaa toisen tapahtuman todennäköisyyttä. Yksinkertaisesti sanottuna, kun yhden tapahtuman tulos voi vaikuttaa toisen tapahtuman esiintymiseen, tapahtumien sanotaan olevan riippuvaisia tapahtumia. Esimerkiksi 52 kortin pakassa kaksi korttia valitaan satunnaisesti yksi kerrallaan. Jos ensimmäinen kortti valitaan eikä sitä vaihdeta, toisen kortin todennäköisyys muuttuu varmasti, koska ensimmäisen kortin poistamisen jälkeen kannessa on jäljellä vain 51 korttia. Se johtaa siihen, että nämä kaksi tapahtumaa ovat riippuvaisia tapahtumia.
Johtopäätös
Jotta voidaan päätellä, ovatko tapahtumat riippuvaisia vai ei, on analysoitava, voiko yhden tapahtuman esiintyminen muuttaa toisen tapahtuman todennäköisyyttä. Voidaan laskea molempien tapahtumien todennäköisyys ja soveltaa kertolaskuja sääntöjen testaamiseksi itsenäisyystestissä.
