Eulerin osuustoiminto - merkitys, esimerkkejä, miten lasketaan?

Mikä on Eulerin suhdetoiminto?

Eulerin Totient-funktio on matemaattinen kerrottava funktio, joka laskee positiiviset kokonaisluvut annettuun kokonaislukuun saakka, jota kutsutaan yleensä n: ksi, jotka ovat alkuluku n: lle, ja funktiota käytetään tuntemaan alkulukujen lukumäärä. annettu kokonaisluku 'n'.

Selitys

Eulerin Totient-funktiota käytetään tietämään, kuinka monta alkulukua on tulossa annettuun kokonaislukuun. Sitä kutsutaan myös aritmeettiseksi funktioksi. Eulerin Totient-toiminnon sovelluksessa tai käytössä kaksi asiaa ovat tärkeitä. Yksi on se, että annetusta kokonaisluvusta 'n' muodostetun gcd: n tulisi olla kerrottava toisilleen, ja toinen on, että gcd: n numeroiden tulisi olla vain alkuluvut. Luvun 'n' tulisi tässä tapauksessa olla suurempi kuin 1. Negatiivisesta kokonaisluvusta ei ole mahdollista laskea Eulerin suhdetoimintoa. Periaatteena on tässä tapauksessa, että ϕ (n): n kertojien, joita kutsutaan m: ksi, ja n: n tulisi olla suurempia kuin 1. Siksi merkitään 1: llä

Historia

Euler esitteli tämän funktion vuonna 1763. Aluksi Euler käytti kreikan π: tä funktion merkitsemiseen, mutta joidenkin ongelmien vuoksi hänen kreikkalaisen π: n merkinnänsä ei saanut tunnustusta. Ja hän ei antanut sille oikeaa merkintämerkkiä eli ϕ. Siksi toimintoa ei voida ottaa käyttöön. Lisäksi ϕ otettiin Gaussin 1801 Disquisitiones Arithmeticaesta. Toimintoa kutsutaan myös phi-funktioksi. Mutta JJ Sylvester sisälsi vuonna 1879 termin totoentti tälle toiminnolle ominaisuuksien ja toimintojen käytön vuoksi. Eri säännöt on kehitetty käsittelemään erilaisia ​​annettuja kokonaislukuja, kuten jos kokonaisluku p on alkuluku, sitten mitä sääntöä sovelletaan jne., Kaikki Eulerin laatimat säännöt ovat käytännöllisiä ja niitä voidaan käyttää vielä tänään käsiteltäessä sama.

Eulerin Totient-funktion ominaisuudet

On joitain erilaisia ​​ominaisuuksia. Jotkut Eulerin totienttifunktion ominaisuuksista ovat alla:

  • Φ on symboli, jota käytetään kuvaamaan toimintoa.
  • Funktio käsittelee alkulukujen teoriaa.
  • Funktio on käytettävissä vain positiivisten kokonaislukujen tapauksessa.
  • Kohdalle ϕ (n) on löydettävä kaksi kertolukua alkulukua funktion laskemiseksi.
  • Funktio on matemaattinen funktio ja hyödyllinen monin tavoin.
  • Jos kokonaisluku 'n' on alkuluku, niin gcd (m, n) = 1.
  • Funktio toimii kaavalla 1 <m <n, missä m ja n ovat alkuluvut ja kertoluvut.
  • Yleensä yhtälö on
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • Funktio laskee periaatteessa annettujen kokonaislukujen pienempien positiivisten kokonaislukujen määrän, joka on suhteellisen alkuluku annettuun kokonaislukuun.
  • Jos annettu kokonaisluku p on alkuluku, ϕ (p) = p - 1
  • Jos p: n voima on alkuluku, jos a = p n on pääteho, niin ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) ei ole yksi - yksi
  • ϕ (n) ei ole päällä.
  • ϕ (n), n> 3 on aina tasainen.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Laske Eulerin suhdetoiminto

Esimerkki 1

Lasketaan ϕ (7)?

Ratkaisu:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Koska kaikki luvut ovat alkuluvut luvulle 7, made: n laskeminen on siten helppoa.

Esimerkki 2

Lasketaan ϕ (100)?

Ratkaisu:

Koska 100 on suuri luku, on aikaavievää laskea 1 - 100 alkuluvut, jotka ovat alkulukuja 100: lla. Siksi käytämme seuraavaa kaavaa:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Esimerkki 3

Lasketaan ϕ (240)?

240: n kerrannaiset ovat 16 * 5 * 3 eli 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

jos n M ei ole alkuluku, käytämme n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Esimerkki 4

Lasketaan ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Sovellukset

Eri sovellukset ovat alla:

  • Toimintoa käytetään määrittämään RSA-salausjärjestelmä, jota käytetään Internet-salaukseen.
  • Käytetään alkulukujen teoriassa.
  • Käytetään myös suurissa laskelmissa.
  • Käytetään peruslukuteorian sovelluksissa.

Johtopäätös

Eulerin kertomistoiminto on hyödyllinen monin tavoin. Sitä käytetään RSA-salausjärjestelmässä, jota käytetään turvallisuustarkoituksiin. Funktio käsittelee alkulukuteoriaa ja on hyödyllinen myös suurten laskelmien laskennassa. Funktiota käytetään myös algebrallisissa laskelmissa ja perusnumeroissa. Funktion merkitsemiseksi käytetty symboli on ϕ, ja sitä kutsutaan myös phi-funktioksi. Toiminto koostuu pikemminkin teoreettisesta käytöstä kuin käytännön käytöstä. Toiminnon käytännön käyttö on rajallista. Toiminto voidaan ymmärtää paremmin erilaisten käytännön esimerkkien avulla, ei vain teoreettisten selitysten avulla. Eulerin totienttifunktion laskemiseksi on olemassa useita sääntöjä, ja eri numeroille on sovellettava erilaisia ​​sääntöjä. Toiminto otettiin ensimmäisen kerran käyttöön vuonna 1763, mutta joidenkin ongelmien takiase sai tunnustuksen vuonna 1784, ja nimeä muutettiin vuonna 1879. Toiminto on universaali toiminto ja sitä voidaan käyttää kaikkialla.

Mielenkiintoisia artikkeleita...