Keskirajan lauseen määritelmä
Keskirajalausekkeen mukaan populaation satunnaismuuttujan satunnaisotokset minkä tahansa jakauman kanssa lähestyvät normaalia todennäköisyysjakaumaa otoksen koon kasvaessa ja oletetaan, että kun otoksen koko populaatiossa ylittää 30, keskiarvo otoksen kaikkien havaintojen keskiarvo b on lähellä yhtä suurta kuin populaation keskiarvo.
Keskirajalauseen kaava
Olemme jo keskustelleet siitä, että kun otoksen koko ylittää 30, jakauma on normaalijakauman muotoinen. Muuttujan normaalijakauman määrittämiseksi on tärkeää tietää sen keskiarvo ja varianssi. Normaalijakauma voidaan sanoa
X ~ N (µ, α)
Missä
- N = ei havaintoja
- µ = havaintojen keskiarvo
- α = keskihajonta
Useimmissa tapauksissa havainnot eivät paljasta paljoa raakana. Joten on välttämätöntä standardoida havainnot, jotta sitä voidaan verrata. Se tehdään z-pistemäärän avulla. Z-pisteet on laskettava havainnolle. Kaava z-pistemäärän laskemiseksi on
Z = (X-µ) / α / √n
Missä
- Z = havaintojen Z-pisteet
- µ = havaintojen keskiarvo
- α = keskihajonta
- n = otoksen koko
Selitys
Keskirajalausekkeen mukaan satunnainen populaatiomuuttujan satunnaisotokset minkä tahansa jakauman kanssa lähestyvät normaalia todennäköisyysjakaumaa otoksen koon kasvaessa. Keskirajalauseessa oletetaan, että kun otoksen koko populaatiossa ylittää 30, otoksen keskiarvo, joka on kaikkien otoksen havaintojen keskiarvo, on lähellä yhtä suurta kuin populaation keskiarvo. Myös otoksen keskihajonta, kun otoksen koko ylittää 30, on yhtä suuri kuin populaation keskihajonta. Koska otos valitaan satunnaisesti koko populaatiosta ja otoksen koko on yli 30, se auttaa hypoteesien testauksessa ja hypoteesitestauksen luottamusvälin rakentamisessa.
Esimerkkejä Central Limit Theorem -kaavasta (Excel-mallilla)
Esimerkki 1
Ymmärretään normaalijakauman käsite esimerkin avulla. Sijoitusrahaston keskimääräinen tuotto on 12% ja keskihajonta sijoitusrahastosijoituksen keskimääräisestä tuotosta 18%. Jos oletamme, että tuoton jakauma jakautuu normaalisti, tulkitskaamme sitten sijoitusrahaston sijoituksen tuoton jakauma.
Koska
- Sijoituksen keskimääräinen tuotto on 12%
- Keskihajonta on 18%
Joten saadaksesi selville 95%: n luottamusvälin tuoton, voimme selvittää sen ratkaisemalla yhtälön as
- Yläalue = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Alempi alue = 12 - 1,96 (18) = -23%
Tulos tarkoittaa, että 95% ajasta tuotto sijoitusrahastolta on välillä 47% - -23%. Tässä esimerkissä otoskoko, joka on satunnaisotoksen, joka sisältää yli 30 palautushavaintoa, tuotto antaa meille tuloksen sijoitusrahaston populaatiotuotolle, koska otosjakauma jakautuu normaalisti.
Esimerkki 2
Jatketaan samalla esimerkillä, määritetään, mikä on tulos 90%: n luottamusvälille
Koska
- Sijoituksen keskimääräinen tuotto on 12%
- Keskihajonta on 18%
Joten saadaksesi selville 90%: n luottamusvälin tuoton, voimme selvittää sen ratkaisemalla yhtälön as
- Yläalue = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Alempi alue = 12 - 1,65 (18) = -18%
Tulos tarkoittaa, että 90% ajasta sijoitusrahaston tuotto on välillä 42% -18%.
Esimerkki 3
Jatkamme samalla esimerkillä, määritetään, mikä on tulos 99%: n luottamusvälille
Koska
- Sijoituksen keskimääräinen tuotto on 12%
- Keskihajonta on 18%
Joten saadaksesi selville 90%: n luottamusvälin tuoton, voimme selvittää sen ratkaisemalla yhtälön as
- Yläalue = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Alempi alue = 12 - 2,58 (18) = -34%
Tulos osoittaa, että sijoitusrahaston tuotto on 99% ajasta välillä 58% -34%.
Osuvuus ja käyttö
Keskirajalause on erittäin hyödyllinen, koska sen avulla tutkija voi ennustaa koko populaation keskiarvon ja keskihajonnan otoksen avulla. Koska otos valitaan satunnaisesti koko populaatiosta ja otoksen koko on yli 30, mikä tahansa populaatiosta otettu satunnaisotoksen koko lähestyy normaalijakautumista, mikä auttaa hypoteesien testauksessa ja luottamusvälin rakentamisessa hypoteesin testaus. Keskeisen rajalausekkeen perusteella tutkija pystyy valitsemaan minkä tahansa satunnaisotoksen koko populaatiosta, ja kun otoksen koko on yli 30,silloin se voi ennustaa populaation otoksen avulla, koska näyte seuraa normaalijakaumaa ja myös sen, että otoksen keskiarvo ja keskihajonta ovat samat kuin populaation keskiarvo ja keskihajonta.
